宋元数学

　　中国传统数学的发展中，宋元数学达到了较高水平，并遥遥领先于世界，成为中国传统数学的第二次高峰。北宋数学家刘益，著有《议古根源》，现已失传。只能从南宋杨辉的著作中看到一些端倪。《议古根源》打破了古代对方程系数的一些限制，提出新解法，即正负开方术，经后世数学家的发展，即形成著称的增乘开方法。北宋另一数学家贾宪，著有《算法斅古集》、《黄帝九章算法细草》二书，此二书均已失传；只能从杨辉的著作中，了解其中的梗概。对于方程解法，贾宪提出"立成释锁平方法"、"增乘开平方法"、"立成释锁立方法"、"增乘（开立）方法"四法，其中释锁平方、释锁立方与《九章算术》相似，而增乘开方法却比旧法简明得多。另外贾宪还提出"开方作法本源"图，现称为"贾宪三角"，实即二项式展开系数表，这是中国传统数学的优秀成果之一，也是方程理论的重要内容。沈括，字存中，号梦溪，钱塘（今杭州）人，著有《梦溪笔谈》、《梦溪补笔谈》，其中给出隙积术、会圆术、棋局都数，这三项都是中国传统数学上的杰出成就。隙积术，是推求累棋、层坛、积罂的求和公式，也即垛积术的开端；会圆术即是由弦、矢求弧的算法；棋局都数是计算棋局的总数。如清代《畴人传》称："隙积、会圆二术，补《九章》所未及"。

　　 南宋数学家秦九韶，著有《数书九章》，其中集有８１问，分为１８卷，厘为九类，每类九题。《数书九章》对数学的主要贡献计有："大衍总数术"，即一次同余式组的一般解法；书中给出了三个乃至八个模数的问题；"正负开方术"，即高次方程的数值解法；书中也给出了８次乃至１０次方程的问题；而这两项代表了中国传统数学的最高成就，也标志着当时世界数学的最高水平。另外，秦九韶还改进了《九章算术》的"方程"术，即改进线性方程组解法为"互乘对减"消元法。他也独立地由三角形三边求得三角形的面积，即所谓"三斜求积"术，这与古希腊海伦公式是等价的。

　　南宋数学家杨辉，著有《详解九章算法》１２卷、《日用算法》２卷、《乘除通变本末》３卷、《田亩比类乘除捷法》２卷、《续古摘奇算法》２卷，共计５种算书，其后三种一般称为《杨辉算法》。在《详解九章算法》中，选《九章算术》８０问作为典范，进行详解，并增添"图草"、"乘除算法"、"篡类"三卷；在"篡类"里，引述了刘益的"正负开方术"贾宪的"增乘开方法"与"开方作法本源"，都是十分珍贵的数学史料。在《日用算法》里，把数学内容编成韵文，便于记诵，成为中国民间数学的特色。《乘除通变本末》是论述乘除算法、加减算法、求一算法诸术。《田亩比类乘除捷法》可看作是《详解九章算法》的延续。而《续古摘奇算法》则是搜集"诸家算法奇题及旧刊遗忘之文"，其上卷主要论述"纵横图"，下卷主要论说《海岛算经》。

　　杨辉对一些纵横图给出了造术方法，为古代数学著作之所缺；杨辉用面积概念论证《海岛算经》的"日高"、"日远"公式，成为后人研究《海岛算经》造术的依据之一。中国古代，很早就有以算筹表示方程的方法，但是，关于建立方程的一般方法则是当务之急；由于方程理论的高度发展，北方一些数学家开创了"天元术"，"天元术"就是用文字表示未知数以建立一元方程的方法。

　　李冶虽不是天元术的首创学者，但是，他的著作《测圆海镜》１２卷、《益古演段》３卷，都是天元术的专门著作，对于天元术的发展和推广却起到不可忽视的作用。在《测圆海镜》里，李冶以"太"字表示常数项，或以"元"字表示一次项，用"太"不用"元"，用"元"不用"太"，这就是他改进原来天元术建立方程的方法；他还把建立方程方法的步骤制度化，首先是"立天元一为某某"，相当于"设Ｘ为某某"；然后依题意列出一多项式，称为"天元筹式"；再依据题意列出另一多项式，称为"同数"；最后"天元筹式"与"同数"两式相消，即是相减，即得一元高次方程。用这种方法建立方程，不但改变古代用几何法建立方程的繁难，而且所建方程之次数也不受限制。对于高次方程，则采用"增乘开方法"以求其解。

　　李冶在《测圆海镜》里，先提出６９２条几何命题，作为全书的理论依据，又给出得自"洞渊九容之说"，连同《九章算术》的"勾股容圆"，共计十种容圆公式，作为此书１７０问的基础。在《益古演段》中，一方面用天元术来解所列６４问几何题，一方面对比蒋周《益古集》的旧解法，从而看出李冶在天元术方面的贡献。随着天元术的发展，北方数学家又创立了二元术、三元术，即是二元代数学、三元代数学，基于此，元代中期朱世杰创立了四元术，即四元代数学。朱世杰著有《四元玉鉴》、《算学启蒙》二书，书中用"天"、"地"、"人"、"物"四字分别表示四种未知数，根据题意，可以列出四个未知数的高次方程组，而四元术的精华是"消元"，通过"消元"，使四元方程化为三元方程，再使三元方程化为二元方程，由二元方程化为一元高次方程，然后将用"增乘开方法"以求其解。朱世杰的"消元"法，是中国传统数学的一项杰出成就，不但领先于西方四百余年，用"消元"法解多元高次方程组的精神是值得称道的。

　　在《四元玉鉴》及《算学启蒙》里，还在另项杰出的成就，就是在沈括隙积术的基础上，系统地发展了垛积术及其相关的内插；也就是开创性地对高阶等差级数作了系统的研究，取得了辉煌的成绩，并领先于西方三四百年之久。在宋元期间，中国传统数学取得非常丰富的辉煌成果，可以说中国传统数学达到了全盛时期。