魏晋南北朝数学

　　从三国时代到隋文帝统一中国之前的数学各项成就辉煌，是中国数学的第一个高峰期。三国时代吴人赵爽，字君卿，身世不详。

　　曾为《周髀》作注，在"注"中，补绘了"日高图"及"七衡图"；赵爽撰写了"勾股圆方图"注、"日高图"注、"七衡图"注；在"勾股圆方图"注中，他用５００余字，论证了勾股原理，还论证了有关勾、股、弦的２０多条命题，在"日高图"注中，他对所谓"日高术"即重差术，也给予几何证明，在"七衡图"注中，他对盖天学说的理论作了说明，所有这些，对后世研讨《周髀》者都有很大裨益。例如"勾股圆方图"注说："勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。案弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾、股之差自相乘为中黄实。加差实一，亦成弦实"。其前一句是重复论述勾股原理，而后一句则是以面积概念证明了勾股原理。设勾、股、弦分别为ａ、ｂ、ｃ
　　
　　
　　这是中国对勾股原理第一次严密的证明。 略晚于赵爽的是刘徽，刘徽是魏、晋期间杰出布衣数学家，其身世不详，初步考证，当是现今山东人，曾为《九章算术》作过注解；刘徽《九章算术注》中，在数学理论上、方法上、技巧上、程序上多所建树和发明，为中国传统数学奠定了理论基础，为中国传统数学形成了独特的理论体系。
　
　　刘徽利用出入相补原理，即利用图形的分、合、移、补的方法证明平面图形如圭田、邪田、箕田、圆田、宛田、弧田、环田的面积算法，还用以证明勾股原理以及整数勾股弦的一般公式。设勾、股、弦分别为ａ、ｂ、ｃ，整数勾弦一般公式为：
　　
　　至于直线型柱体如城、垣、堤、沟、堑、渠的体积或容积算法，也以出入相补原理予以证明；刘徽把出入相补原理作为一条普遍的原理，应用于几乎全部的几何理论之中。刘徽又利用三种基本几何体，即堑堵、阳马、鳖臑，他先证明三种基本几何体的体积算法，再把直线型非柱体的立体分割为三种基本几何体，然后证明其体积算法。可见，刘徽把三种基本几何体作为多面体体积算法的理论关键。对于圆型面图形如圆田、弧田的面积算法，刘徽则是利用极限观念和出入相补原理证明其面积算法，并求得圆周率较精密之值分别为：
　　

　　对于环田，乃是将环田之周拉直，使变为等积的梯形，再用出入相补原理证明其面积算法。刘徽在推证圆型立体时，采用了截割原理，即是在圆柱、圆锥、圆台上，各作一外切方柱、方锥、方台，以圆型立体与其外切方型立体体积之比为π：４，从方型立体可证得圆型立体的体积算法。刘徽在正方体上，作相互垂直的两圆柱，称两圆柱的公共部分为"牟合方盖"，在"牟合方盖"里作内切球，刘徽深知"牟合方盖"与其内切球体的体积之比为４∶π，他虽未求得球体积算法，但他提出其体积之比，在算法理论上是十分珍贵的。刘徽在推证勾股原理的基础上，还用面积理论推证有关勾、股的各种线段的求法，还用相似勾股形性质推证"勾股容方"、"勾股容圆"的求法，也证明了简单的测量算法。刘徽对数学名词改变了"约定俗成"的惯例，对一些名词给予明确的定义，如把"率"定义为"凡数相与者，谓之率"。"等除法实，相与率也"。即是说，凡数与数之比，称之为"率"，约简两数之比，则称为"相与率"。并把"率"概念几乎应用到所有算法之中，作为各种算法的主线。给正负数所下定义为："今两算得失相反，要令正负以名之"。还给"方程"下了正确的定义，既给出"方程"有确切解的条件，又给出"方程"的同解理论，并创造性的给出"方程"的新解法。
　　
　　此外，刘徽还对幂、齐同通、列衰、开平方、开立方、鳖臑、阳马、堑堵、勾、股、弦等数学名词都给出正确的定义。刘徽的这些定义，不但没有含混不清之词，也没有循环定义之举，都合于逻辑，因而成为演绎论证的理论依据。刘徽在推理演绎与证明方法上，既有归纳，也在演绎；既有综合法，也有分析法，还有反证法；在逻辑方面是十分丰富的。于是在中国传统数学理论的发展上，形成了第一次高峰。西汉时期，主张盖天学说的天文学家创造了测量日高、远的方法，称之为重差术，到刘徽时代，几乎失传。刘徽乃潜心研究测量原理，使重差术加以发展，并由两次测望推广至三次、四次测望，编撰九道测量问题，缀于《九章算术》之终。唐代，李淳风为国子监审定数学教材，使另行单本，因其第一问为"今有望海岛"，故称之为《海岛算经》。可见刘徽在测量理论上的成就是卓著的。 　　
　　生活在南北朝宋、齐时代的著名数学家祖冲之及其子祖暅，对数学有很出色的贡献，例如他们父子曾作《缀术》一书，可惜早已失传。保留至今的，只有祖冲之所创造的圆周率，即介于盈朒二限：
　　

　　还有其子祖暅解决了刘徽所提出的"牟合方盖"体积问题，从而得到球体积的巧妙证法。 在南北朝成书的《孙子算经》三卷，是一部数学普及著作，其卷下除有"鸡兔同笼"问题外，还有著名的"物不知数"题，即"今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何"。也即现今之一次同余式组问题: 设所求之物数为Ｎ，则有ＮQ２（qpo３），ＮQ３（qpo５），ＮQ２（qpo７），《孙子算经》给出Ｎ的最小解为Ｎ＝２３，西方学者一直称这问题为"中国剩余定理"，我们则称之为"孙子定理"。

　　《张邱建算经》也是一部数学普及著作，书中涉及最大公约数和最小公倍数的正确求法，还有七道问题涉及等差级数及其解法，有的固是继承《九章算术》的成果，但等差级数更多的内容则是创新；《张邱建算经》卷下，有一"百鸡问题"，是著名的不定方程问题。即"今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何"。书中共给出四组答案。虽然《九章算术》已有不定方程的记载，但一题数答却始自《张邱建算经》。