数学的几个概念

【集合论】数学的一个重要分支，现代数学的基础。集合论是康托尔在１９世纪末创立的。它经历了两个发展阶段：１９０８年以前称为朴素集合论；１９０８年以后称为公理集合论。朴素集合论产生的背景是分析学，康托尔在研究"函数展开为三角级数的唯一性"问题时，首先提出了集合的概念，并且提出了对无穷集合分类的一种法则，即"一一对应"法则。如果两个集合的元素之间能建立一一对应的关系，则称这两个集合等势。一个无穷集合可与它的一个真子集等势，这与传统的观念"全量大于部分"矛盾，但康托尔认为这恰恰是无穷集合区别于有穷集合的特征。他称与全体自然数集合Ｎ等势的集合为可数集，当他证明了全体有理数集和全体代数数集都是可数集之后，又发现全体实数集Ｒ不是可数集，这说明无穷集合之间存在着差异，为了刻划这种差异，他引进了基数的概念，同时他还开始研究有序的集合，特别是良序集的结构，并引入了序数的概念，将数学归纳法推广到自然数以外，提出了超限归纳法。１９００年左右集合论中出现了悖论，其中最著名的是罗素悖论。悖论的出现表明集合论的理论是不协调的，也使人们对整个数学推理的正确性与结论的真理性产生怀疑，酿成了数学史上的第三次危机。为了克服悖论所带来的困难，策梅洛于１９０８年提出了一个公理化方案，后经弗伦克尔和斯科朗的改进，形成了现代的公理集合论。

【数理逻辑】数学的一个分支学科。用数学方法研究的逻辑。通常人们认为数理逻辑包含４个领域：（１）公理集合论；（２）模型论；（３）递归论；（４）构造主义和证明论。此外还有两个不太确定的领域，可以称为：（A）逻辑和计算机；（F）数学基础。纵观数理逻辑的发展史，它和哲学有多方面的相互作用，包括构造一些它的逻辑系统，如模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、量子逻辑、多值逻辑和模糊逻辑等。理逻辑的先驱者是莱布尼茨和布尔，他们首先提出了用数学方法研究逻辑系统的思想。１８世纪末，弗雷格和康托尔的工作为现代数理逻辑奠定了基础。１８７９年弗雷格出版了一部专著《概念演算》，第一次规定了一阶谓词演算的现代形式，几乎同时，康托尔创建了集合论，开始用一种严格的数学方法来处理无穷集合。他在１８７４年提出了著名的连续统假设（GH），这个假设猜想：实数的个数是自然数个数之后的第一个无穷数。虽然GH至今还没有解决，但是为解决它所提出的各种方法极大地推动了集合论的发展。１９００年左右集合论中出现了一些悖论，最著名的有罗素悖论、康托尔悖论、布拉里B福尔蒂悖论。特别是罗素悖论在当时的数学界和逻辑界引起了极大震动，它动摇了传统的数学概念、数学证明和数学方法的可信性标准，引起了第三次数学危机。

【组合数学】又称组合分析或组合学。研究将有限个元安排到适合（服从）某些限制条件的集合。有三个问题需解决：
　　（１）组态问题，解决存在这种安排的条件，给出明确的结论；
　　（２）组态存在时，确定其数目或将它们进行分类；（３）研究安排的性质和结构，包括最优化问题。
　　组合数学最早出现的是神话传说：大禹时代（前２２００）的神龟背上驮着的幻方，古代称为"九宫"，即
　　4 9 2
　　3 5 7
　　8 1 6
　　一般是将１，２，…，ｎ２放到ｎ×ｎ格子中，使每行每列各数之和相等，称ｎ阶幻方。缺角棋盘的覆盖问题、柯克曼１５女生散步问题、欧拉３６名军官问题都是著名的组合学例子。现代科学技术中，又提出离散性问题及关系结构分析，图论、信息论、编码、实验设计、线性规定划等领域也提了一系列问题，促进了组合学的发展，它们互相促进、充实。

【四色猜想】画在平面上或球面上的地图，每个国家是个连通区域，有共同边界的国家要着不同颜色，需要用多少种颜色？下图说明至少要４种。１８９０年证明５种一定够用。然而实践中４种已够用，人们猜想四色已够用，而一直未能证明它，称"四色猜想"。１９７６年美国有人用计算机证明"四色猜想"成立，但有人怀疑，有人仍希望得到直接证明。

【数论】最古老的数学学科之一。是研究数的规定律，特别是整数性质的一门纯粹数学学科。古希腊人对数论的主要贡献是整数的整除性理论，这是数论中最古老，最重要的部分之一，它的建立不晚于公元前５世纪末到４世纪初。尼可马修斯的《算术入门》是数学史上第一本数论书籍，它的大多数主题与欧几里得《原本》中关于数论的部分相同。但风格迥异。该书总结了早期毕达哥拉斯学派的有关论述，也提出了一些新理论，丢番图在《算术》中讲述了许多数论命题，成了费马、欧拉、高斯等人研究数论的出发点。高斯的《算术探讨》开始了现代数论。数论按研究的方法又分成初等数论，解析数论，代数数论，超越数论，几何数论，概率数论，堆垒数论等。数论是一门高度抽象的纯粹数学学科，近来，随着计算机科学及应用数学的发展，它的应用也日益广泛，如初等数论中的许多成果应用于组合论，编码中，数论的许多深刻成果在近薃E分析、快速变换等方面都得到应用。
　　中国在数论研究上有悠久的历史，《周髀》中已有数论启蒙思想，勾股定理即早期不定方程的研究，南宋秦九韶的解联立同余式组方法早于欧拉、高斯五百年。在现代，著名数学家华罗庚是中国解析数论的前驱，他的《数论导引》、《堆垒素数论》是世界有影响的名著。在他的领导下，中国数论工作者做了大量工作，最突出的当推陈景润在研究哥德巴赫猜想时的（１，２），它是目前这一工作的最佳成果。

【初等数论】以整数的整除理论，不定方程，同余式等为主要研究内容，以算术方法为主要研究方法的一个数论分支。近几十年来，初等数论在计算机科学，组合数学，代数编码，信号的数字处理等领域得到广泛应用。

【不定方程】数论中有长久历史的一个分支，内容丰富。指未知数个数多于方程的个数，且它们的解受某种限制的方程（比如要求解是整数或正整数）。讨论不定方程，即决定何时有解，解的个数以及求出所有适合条件的解。古希腊丢番图所著《算术》一书中，讲了一些具体不定方程的解法，内容丰富，方法巧妙，人们也称不定方程为丢番图方程来纪念他。在丢番图以前，中国古代的《周髀算经》中已有了不定方程。

《九章算术》中给出了（５，１２，１３），（８，１５，１７），（７，２４，２５），（２０，２１，２９）等八组勾股数，１８４４年，清朝陈杰在《算法大成》中将ｘ２＋ｙ２＝ｚ２的正整数解做了归纳，１９０６年黄宗宪在《悯笑不计》一书中，有"三角垛堆整数勾股术"，写出了关于勾股正整数解的通式。
　　不定方程组　求若干个不定方程的公共解称为解不定方程组。ｎ元一次不定方程组问题可由消元法化为一次方程求解。"五家共井"、"百鸡问题"都是中国最古老的不定方程组问题。

【同余式】同余是数论中一个重要的概念，它是整数集的一个关系。ａ，ｂ是两个整数，ｍ是一正整数，若ｍOａ－ｂ，称ａ与ｂ模ｍ同余，记ａQｂ（qpoｍ）。同余是一个等价关系，具有自反性、对称性、传递性。
　　若ｐ是素数，称２ｐ－１为莫森数，若它是素数，称莫森素数，此数常记为Ｍｐ，当Ｍｐ是莫森素数时，１２Ｍｐ（Ｍｐ＋１）是偶完全数，所以莫森素数与偶完全数间有一一对应，至今所知最大莫森素数是Ｍ２１６０９１。莫森素数是否有无穷多个，是数论的又一难题，通过发现莫森数，可以达到发现已知最大素数的目的，因此，引起数学家的兴趣。

【代数数论】数论中研究代数数域和代数整数的一个分支。它的形成和发展主要由于不定方程的推动，起源于费马猜想，高斯和库默为两位主要的开拓者，高斯复整数理论的建立是代数数论发展方向上的一个阶段。库默把高斯的理论推广到代数数，进而建立理想数的理论，为代数数论的产生奠定了基础。他证明了对于１００以内的素数，除３７、５９、６７外，费马猜想都是对的，由此将数论的研究推到一个崭新阶段，出现了代数数论。继库默之后，对代数数论做出重大贡献的是希尔伯特，他的〈数论报告〉总结了直到库默、迪德金的研究成果。
　　１９００年在第二次国际数学家大会上，希尔伯特提出了著名的２３个问题，其中９-１２属于代数数论。目前，代数数论已成为数学中内容异常丰富的分支，是研究不定方程的主要工具。代数数论越来越深入地运用到计算机科学、信息科学等应用学科中。

【解析数论】以分析方法为研究工具的数论分支，１８世纪欧拉奠基，起源于素数的分布，哥德巴赫猜想等著名问题。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力工具，陈景润正是运用了深刻的解析方法，对筛法做了重要改进，从而证明了哥德巴赫猜想的（１，２）。解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法及指数和方法等。在数论中有这样一些问题，尽管问题本身不涉及分析概念，但若不应用分析方法，就解决不了，如华林问题等，也有些问题可以不利用分析方法，但若应用分析方法证明，结果可以更深刻，或证明更简单，如整数分拆，当然也有的问题本身必须用分析方法才能表达清楚。

【概率数论】始于１９１７年哈代等人关于数论函数ω（ｎ）的研究，这里ω（ｎ）表示ｎ的不同的素因数的个数；坐标为整数的点矨E整点，全部整点构成空间格网，以空间格网为基本研究对象的学咳称几何数论，它由德国数学家闵可夫斯基等人开创；堆垒数论又称加性数论，是数论的一个分支，整数的分拆是它的一个基本问题，如平方和问题、哥德巴赫猜想问题等，是堆垒数论研究的著名问题；超越数论是目前活跃的一个数论分支，它是以超越数为研究对象的数论分支，若复数α是某个有理系数多项式的根，就称α为代数数，否则α称超越数。

【抽象代数】数学的一个重要分支。萌芽于１８世纪末，１９世纪初，２０世纪２０年代建立。伽罗瓦关于方程可根号解的研究引入了群，域的概念，哈密顿对四元数的发现，打破"数"的传统观念，随着数系的扩充，四元数、向量、矩阵等对象的出现，代数的面貌发生了一系列深刻变化，作为研究数的运算性质的数学分支发展为以研究有运算的一般集合（称代数结构）为对象的数学分支。抽象代数的兴起是２０世纪数学最突出的进展之一。今天，抽象代数、拓扑与泛函分析成为现代数学理论的三大支柱。
　　一个代数结构是指用公理化方法定义的这样一个非空集合，它有一个或几个代数运算，并且满足一定的算律。根据代数运算及所满足的算律而有各种不同的代数结构。若Ｖ是一个非空集合，Ｖ的一个代数运算是指Ｖ×Ｖ→Ｖ的一个映射C，对于Ｖ中任意ａ，ｂ，ａCｂ∈Ｖ。若ａCｂ＝ｂCａ，称C满足交换律。群是一个重要的代数结构（参见"群论"），此外还有环、域、格、模等，对每个代数结构性质的讨论形成了抽象代数的各个专门学科，如群论、环论等。代数结构性质的讨论形成了抽象代数的各个专门学科，如群论、环论等。
　　女数学家诺特和阿廷对抽象代数的建立和发展起了巨大作用。她们的学生范·德·瓦尔登是抽象代数的传播者。１９３０年出版的《近世代数学》传播了诺特、阿廷的思想，于是抽象代数蓬勃发展起来。代数结构中最常见、最基本的是群、环、域，也是形成较早的三个分支，继之格、模、交换代数，同调代数等相继发展AE?来。如今抽象代数不仅为现代数学各学科提供了有力工具，而且它的观点和方法渗透到了许多学科。
　　中国在抽象代数方面最早有成就的是曾炯之，他是诺特的学生。著名数学家华罗庚在代数方面做了不少杰出工作。此外中国数学家在代数的不少分支如有限群、典型群、环论、李代数等都有不少好的结果。

【群论】群是数学中一个重要概念，有关群的性质及结构的理论称群论，是抽象代数重要组成部分之一。群论的产生，根源之一是高次方程的根号解问题。拉格朗日关于方程根的对称函数的工作，引起人们注意根的置换的性质，导致置换群理论的产生。群论的创立者被认为是伽罗瓦。如今，群论已发展成一个内容丰富、分支众多的学科。被认为是１９世纪意义最重大的数学创造之一，它深刻地改变了人们对数学性质的认识，开创了全新的研究领域。

【微积分学】分析数学是在微积分学基础上形成的，其研究内容包括极限理论、微积分学、微分方程、函数论、泛函分析与傅里叶分析等分支。它的产生与发展是由于力学、天文学、几何学等领域中所提出问题的推动。例如，求曲线的切线等导致微分学的产生，而求平面曲边图形的面积等则是积分学的最早发源地之一。作为微积分学的基础的极限的思想，可以追溯到古代。我国《庄子》（公元前３８９-２８６）有"一尺之棰，日取其半，万世不竭"的论述。公元前５世纪希腊人已有了无限小的概念。但微积分是在１７世纪才产生，其标志是牛顿的"流数法"和莱布尼茨的"逆切法"。微积分的产生与运用，解决了许多长期使人困惑的问题。经过达朗贝尔、拉格朗日、阿贝尔、波尔查诺等人的探索，直到１９世纪，柯西建立了严格的极限理论，才奠定了微积分的基础，又经外尔斯特拉斯的完整，形成了现在的数学分析。而且由此发展出函数论、微分方程、泛函分析等，使分析数学成了数学的一大分支。

【微积分学】分析数学是在微积分学基础上形成的，其研究内容包括极限理论、微积分学、微分方程、函数论、泛函分析与傅里叶分析等分支。它的产生与发展是由于力学、天文学、几何学等领域中所提出问题的推动。例如，求曲线的切线等导致微分学的产生，而求平面曲边图形的面积等则是积分学的最早发源地之一。作为微积分学的基础的极限的思想，可以追溯到古代。我国《庄子》（公元前３８９-２８６）有"一尺之棰，日取AE?半，万世不竭"的论述。公元前５世纪希腊人已有了无限小的概念。但微积分是在１７世纪才产生，其标志是牛顿的"流数"和莱布尼茨的"逆切法"。微积分的产生与运用，解决了许多长期使人困惑的问题。经过达朗贝尔、拉格朗日、阿贝尔、波尔查诺等人的探索，直到１９世纪，柯西建立了严格的极限理论，才奠定了微积分的基础，又经外尔斯特拉斯的完整，形成了现在的数学分析。而且由此发展出函数论、微分方程、泛函分析等，使分析数学成了数学的一大分支。

【泛函分析】不是孤立地研究某个函数或若干个函数之间的关系和方程，而是把许多函数做为总体来研究。即研究函数空间和函数变换的数学分支。由于它把具体问题抽象成一种纯粹代数的与拓AE?的结构形式以进行研究，因此形成了种种综合运用代数与几何的手段去处理分析问题的新方法。泛函分析研究各种具有拓展的线性空间，性质及解决问题的方法。

【几何学】数学中最古老的一门分科，起源于古埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法。我国古代西周有勾股测量，即"勾三，股四，弦五"之说，后来几何学从埃及传到希腊，逐步发展成为一个比较严谨的推理几何。特别是欧几里得把当时得到的数学知识集起编写出"原本"一书，对后世有很大的影响，欧几里得在"原本"中首先叙述一些定义，然后提出五个公设，其中以第五公设为最著名。至今我们把欧几里得在"原本"所述的几何学称为欧氏几何学。但"原本"中的公理体系是不完整的，经过了许多数学家的长期努力在１９世纪末，德国数学家希尔伯特才真正建立了严密的欧氏几何公理体系。在建立欧氏几何公理体系的长AE?过程中，１９世纪初罗巴切夫斯基和鲍约独立地创建了一种新几何学，它与欧氏几何的区别在于扬弃了欧氏的第五公设，这样创建的几何学称为双曲非欧几何学，后来黎曼又创建了椭圆非欧几何学。

【解析几何】数学中最基本的学科之一。解析几何的萌芽，起源于古希腊数学家对圆锥曲线所作的大量的系统研究，１７世纪初随解析几何学的创始人法国的笛卡尔和费马把变量引入数学领域，通过建立坐标，把几何中的曲线（或曲面）看成动点的轨迹，用变量ｘ，ｙ（或ｘ，ｙ，ｚ）来表示这个动点的坐标，那么，这个轨迹便可以用ｘ，ｙ（或ｘ，ｙ，ｚ）所满足的方程来表示。这样把几何学中的基本元"点"和代数学中的研究对象"数"建立对应，并在这个基础上，建立起曲线（或曲面）与方程的对应。这样，通过几何与代数的紧密结合，就可用代数的方法来研究几何问题，这便是解析几何的基本思想，解析几何只研究二次方程所表示的曲线或曲面。解析几何除上述坐标法外，还可通过向量的运算来讨论曲线和曲面的一些几何性质，这便是向量法，向量法对某些问题的讨论是很方便的。

【几何基础】欧几里德的"原本"中所提出的欧氏几何公理体系是很不完整的。许多概念缺乏公理基础，为了建立一套完整的欧氏几何公理体系，在１８９９年德国数学家希尔伯特出版了"几何基础"一书。他提出了一整套接近于欧几里得且最受人们欢迎的公理体系，而全部欧氏几何的内容都可由这套公理体系按逻辑推理展开而得到。这就为欧氏几何学奠定了结实的基础。而且希尔伯特的公理体系还有一个美妙的特点，即如果用罗巴切夫斯基的平行公理代替欧氏平行公理，其余公理不变便可立即得到双曲非欧几何的公理体系。

【第五公设问题】欧几里德在《原本》中提出了如下一条公设：在一平面上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。这个公设称为欧几里德第五公设。它在欧氏几何体系中占有特殊的地位。首先它较晚地显示出它的作用，在《原本》中前２８个命题的证明中均未用到它。其次它看起来较其它所有公设均复杂。这就很自然地引起人们的一种想法，以为这条公设是否是多余的，即是否可以作为定理，利用其它公理来加以证明。事实上，欧几里德以后的许多数学家都曾作过企图证明第五公设的尝试。
　　关于某一命题的数学证明，其意义就是要仅根据所采用的公理体系纯逻辑地推导出此命题的结论。　（只能用此系统中的公理及用这些公理已证明过的定理作为依据）但是《原本》中欧几里德并设有提出完整的公理系统，因此这些企图证明第五公设者都不能精确地提出问题。而所有这些第五公设的证明，从今天的观点来看都是不对的。因为他们都自觉或不自觉，或明或暗地不加证明地运用了某个与第五公设等价的命题。因此两千年来对第五公设的证明都失败了。事实上，在１９世纪末以前，几何学现代公理法出现之前对于如何辩别几何学证明的严密性是没有完全清楚的准绳。因此在一定程度上，第五公设的每个证明者都自以为他的假设是合理的，或他所利用的直观是合理的。而且认为他已经证明了第五公设。但是直到今天才知道这些假设，或所利用的直观都是站不住脚的，实际情况是这些假设或直观都隐含了一个与第五公设等价的命题。
　　虽然企图证明第五公设都失败了，但在这各种各样的证明中积累了丰富的几何知识。而正是从这些试证第五公设的过程中才产生了非欧几何的初步，以致引起人们对几何学观点的根本变化。

【希尔伯特公理体系】欧几里德《原本》有逻辑的缺点，这不仅表现在公理不够，而且许多重要的几何概念，如顺序、运动、连续等都没有定义。事实上，这些概念在１９世纪以前都没有完全明确地建立起来。德国数学家希尔伯特U．HZ[FarE]在总结了前人成果的基础上于１８９９年出版了《几何基础》一书。希尔伯特在此书中成功地建立了几何学的公理系统，并非常自然地划分公理，使得几何学的逻辑结构变得非常清楚，非常严密。希尔伯特所提出的欧氏几何这套完整而简单的公理系统，使欧氏几何公理体系问题原则上得到解决。在希尔伯特的系统里讨论了三种几何对象："点"、"直线"和"平面"，以及这些对象之间的三种关系："属于"、（或说"关联"，"在…之上"等等）"介于"、"合同于"。（或说"全等于"）这些就是基本概念，所有其余的概念都可以在列举的三个基本概念的基础上给以直接的定义。
　　以上所说的三种基本对象和三种基本关系必须满足以下
　　五组公理（共２０条，见附录）
　　Ⅰ１－８　关联公理（或称结合公理，从属公理）
　　Ⅱ１－４　顺序公理（或称次序公理）
　　Ⅲ１－５　合同公理（或称全合公理，全等公理）
　　Ⅳ　　平行公理
　　Ⅴ１－２　连续公理
　　根据这五组公理可以逻辑地导出全部欧氏几何。希尔伯特《几何基础》一书，已被世界上一些数学家公认为一本经典著作，希尔伯特的公理体系是欧氏几何的一套最完美的公理体系。

附录：希尔伯特公理体系
第一组公理：关联公理
　Ⅰ１　对于两点Ａ和Ｂ，恒有一直线ａ，它同Ａ和Ｂ这两点的每一点相关系。
　Ⅰ２　对于两点Ａ和Ｂ，至多有一直线，它同Ａ和Ｂ这两点
的每一点相关联。
　Ⅰ３　一直线上恒至少有两点，至少有三点不在同一直线上。
　Ⅰ４　对于不在同一直线上的任意三点Ａ，Ｂ和Ｃ，恒有一平面α，它同Ａ，Ｂ和Ｃ这三点的每一点相关联，对于任一平面，恒有一点同这平面相关联。
　Ⅰ５　对于不在同一直线上的三点Ａ，Ｂ和Ｃ，至多有一平面，它同Ａ，Ｂ和Ｃ这三点的每一点相关联。
　Ⅰ６　若一直线α的两点Ａ和Ｂ在一平面α上，则α的每一点都在平面α上。
　Ⅰ７　若两AE?胊eα和β有一公共点Ａ，则它们至少还有一公共点Ｂ。
　Ⅰ８　至少有四点不在同一平面上。

第二组公理：顺序公理
　Ⅱ１　若一点Ｂ在一点Ａ和一点Ｃ之间，则Ａ，Ｂ和Ｃ是一直线上的不同的三点，这时，Ｂ也在Ｃ和Ａ之间。
　Ⅱ２　对于两点Ａ和Ｃ，在线ＡＣ上恒至少有一点Ｂ，使得Ｃ在Ａ和Ｂ之间。
　Ⅱ３　一直线的任意三点中，至多有一点在AE?他两点之间。
　Ⅱ４　设Ａ，Ｂ和Ｃ是不在同一直线上的三点：设ａ是平面ＡＢＣ的一直线，但不通过Ａ，Ｂ，Ｃ这三点中的任一点，若直线ａ通过线段ＡＢ的一点，则它必定也通过线段ＡＣ的一点，或线段ＢＣ的一点。

第三组公理：合同公理
　Ⅲ１　设Ａ和Ｂ是一直线ａ上的两点，Ａ′是这直线或另一直线ａ′上的一点，而且给定了直线ａ′上Ａ′的一侧，则在直线ａ′上Ａ′的这一侧，恒有一点Ｂ′，使得线段ＡＢ和线段Ａ′Ｂ′合同或相等；用记号表示，即ＡＢ≡Ａ′Ｂ′。
　Ⅲ２　若两线段Ａ′Ｂ′和Ａ〞Ｂ〞都和另一线段ＡＢ合同，则这两线段
Ａ′Ｂ′和Ａ〞Ｂ〞也合同；简言之，若两线段都和第三线段合同，则它们彼此也合同。
　Ⅲ３　设两线段ＡＢ和ＢＣ在同一直线ａ上，无公共点，而且两线段Ａ′Ｂ′和Ｂ′Ｃ′在这直线或另一直线ａ′上亦无公共点，若ＡＢ≡Ａ′Ｂ′，而且ＢＣ≡Ｂ′Ｃ′，则ＡＣ≡Ａ′Ｃ′。
　Ⅲ４　设给定了一平面α上的一个角\∟（ｈ，ｋ），一平面α′上的一直线ａ′，和在α′上ａ′的一侧。设ｈ′是ａ′上的，从一点ｏ′起始的一条射线，则平面α′上恰有一条射线ｋ′，使∟（ｈ，ｋ）与∟（ｈ′，ｋ′）合同或相等，而且使∟（ｈ′，ｋ′）的内部在ａ′的这给定了的一则；用记号表示，即∟（ｈ，ｋ）≡∟（ｈ′，ｋ′）每一个角和它自己合同，即∟（ｈ，ｋ）≡∟（ｈ，ｋ）。
　Ⅲ５　若两个三角形ＡＢＣ和Ａ′Ｂ′Ｃ′有下列合同式ＡＢ≡Ａ′Ｂ′，
ＡＣ≡Ａ′Ｃ′∟ＢＡＣ≡∟Ｂ′Ａ′Ｃ则也恒有合同式
∟ＡＢＣ≡∟Ａ′Ｂ′Ｃ′。（∟暂时表示角）

第四组公理：平行公理。　Ⅳ（欧几里德公理）设ａ是任一直线，Ａ是ａ外的任一点。在ａ和Ａ所决定的平面上，至多有一条直线通过Ａ，而且不和ａ相交。

第五组公理：连续公理
　　Ⅴ１（度量公理或阿基米德公理）若ＡＢ和ＣＤ是任意两线段，则必存在一个数ｎ，使得沿Ａ到Ｂ的射线上，自Ａ作首尾相接的ｎ个线段ＣＤ，必将越过Ｂ点。
　　Ⅴ２（直线完备公理）一直线上的点集连同其顺序关系与合同关系不可能再这样扩充，使得这直线上原来元素之间所具有的关系，从公理Ⅰ～Ⅲ所推出的直线顺序与合同的基本性质以及公理Ｖ１都仍保持。

【绝对几何、欧氏几何与罗氏几何】在希尔伯特公理体系中，去掉欧氏平行公理Ⅳ，即利用Ⅰ１－８，Ⅱ１－４，Ⅲ１－５，Ⅴ１－２这四组公理建立A来的几何学叫做绝对几何。因此在绝对几何中包含了欧氏几何也包含了罗氏几何。（即欧氏平行公理Ⅳ不成立的几何，有关罗氏几何后面再详述）换言之，在绝对几何中成立的定理，在欧氏几何与罗氏几何中都成立。例如："在三角形中一个外角大于AE?任一不相邻的内角。"，"等腰三角形的底角相等。"等这些都是绝对几何中的定理。
由希尔伯特公理体系（即Ⅰ１－８，Ⅱ１－４，Ⅲ１－５，Ⅳ，Ⅴ１－２）所建立起来的几何学称为欧氏几何，如果在希尔伯特公理体系中，我们去掉欧氏平行公理Ⅳ，并用它的反面命题ⅣS
（即罗氏平行公理）：
　　有这样的直线ａ和不在QI2上的点Ａ，过Ａ至少有两条直线与ａ共面不相交。来代替，由这样的公理体系，即Ⅰ１－８，Ⅱ１－４，Ⅲ１－５，ⅣS，Ⅴ所建立起来的几何学称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何，有时也称非欧几何。
　　从直观上看，人们很难相信公理ⅣS能够能立。因此罗氏几何的产生有一段漫长的历史。从欧几里德提出第五公设以后（第五公设与欧氏平行公理是等价的）就有一些数学家企图"证明"它，但均未成功。１７世纪以后有些数学家从假设第五公设不成立的情况下着手，追究它能否得出与已知定理相矛盾的结果。如果得不出矛盾，它又会产生怎样的事实。实际上，这样的思想方法已开辟了一条通向非欧几何的道路。例如１８世纪瑞士数学家LAQFRE就认识到，假如欧氏平行公理不成立的话，三角形的"内角和"就小于平角。他把平角与"内角和"之差叫做这个三角形的角亏。他证明了三角形的面积与角亏成正比。他还说过这样一段颇有深意的话："我几乎可以判断，平行公理不成立的那种几何应该可以发生在半径为虚数的球面上！"
　　以后法国数学家LABaBora证明了："若有一个三角形的内角和是平角，则一切三角形的内角和都是平角；若有一个三角形的内角和小于平角，则一切三角形的内角和都小于平角。"并证明了在存在大小不同的相似三角形的假设下，可以证明第五公设。这些事实的发现对第五公设的本质认识深入了一大步。
　　到了１７世纪，高斯GADSS）首先承认了第五公设是不可能证明的，亦即它与其它公理不相依赖。因此高斯已预感到有一种新的几何存在的可能性。匈牙利数学家J．OpLCAZ在他父亲的一本书中以附录形式于１８３２年出版了题为"绝对空间的科学"一文。在此其论文中OpLCAZ建立起非欧几何学，并且相信这种新几何是无矛盾的。
　　俄国数学家罗巴切夫斯基在１８２６年于喀山大学的一次会议上宣读了题为"关于几何原理的议论"的报告，第一次提出了他关于非欧几何的思想，在
　　１８２９年他正式发表了题为"论几何基础"的论文，叙述了他关于平行公理的研讨和他对新几何的探索。这种几何以后就称为罗氏几何。

【仿射几何】射影空间上凡保持某一给定直线不变的直射多控叫做关于该直线的仿射变换。仿射几何就是研究图形在仿射变换下保持不变的性质。这些仿射变换的全体对变换的乘法形成一个群，叫仿射变换群。仿射几何中的主要结果是：仿射变换保持直线的平行性不变；保持平行线段的长度比不变；保持三个点的共线不变。

【积分几何】通过各种积分考察图形性质的一门学科。积分几何本质上属于整体微分几何的范畴。它起源于几何概率的研究，其发展也始终与几何概率联系在一起。几何概率的研究是以有关图形的测度为基础，其中的度量往往表为积分，因此自然就导致了积分几何的建立。最早的几何概率是布丰（BUFFON）提出的投针问题：设在平面上有一组平行线，平行距都等于Ｄ，把一根长ｌ＜Ｄ的针随机地投上去，则这根针与一条直线相交的概率为21/πＤ。后来英国数学家克劳夫顿（W．DTOFTON）对这类问题作了深入的研究，找到了这些积分间的许多巧妙的关系。法国数学家庞加莱（H．PEIKCARA）高瞻远瞩引进了运动密度的概念，把积分几何与变换群相结合。
　　１９３５年德国数学家布拉施爆克（W．BLASOKa）等人在"积分几何"这个总标题下发表了一系列的论文，积分几何就开始作为几何的一个独立分支得到了系统而深入的发展。以后，陈省身教授与韦伊（A．WVIL）建立了齐性空间的积分几何理论，为积分几何作出了卓越的贡献。５０年代以来西班牙B阿根廷数学家桑塔洛（L．A．STALO）教授对积分几何的研究一直处于领先的地位，他所著的"积分几何与几何概率"是乞今为止这方面最完备的专著。
　　由于积分几何是和概率论及数理统计紧密联系着的。因此它在许多学科，如生物学、医学、矿物学，以至物理学、天文学等中均有广泛的应用，随着电子计算机的发展，这种应用正方兴未艾。

【曲线与曲面的微分几何学】经典微分几何学。主要研究三维欧氏空间Ｅ３中的曲线和曲面在一点邻近的性质。经典微分几何学差不多与微积分学同时起源于１７世纪。单变量函数的几何形象就是一条曲线，而函数的导数就是曲线的切线之斜率，函数的积分在几何上则可解释为一曲线下的面积等等。这种把微积分应用于曲线、曲面的研究，实质上就是微分几何学的开端。欧拉、蒙日、拉格朗日和哥西等著名数学家都曾为微分几何学的发展做出过重要贡献。但使微分几何独立成为一门学科并使之系统化的当归功于德国数学家高斯。按照克莱因变换群几何的观点，经典微分几何学应属于运动群几何。所以也称运动几何学或初等微分几何学。经典微分几何学的研究工具大部分是微积分学。而力学、物理学与天文学以及技术和工业的日益增长的要求则是微分几何学发展的重要因素。尽管经典微分几何学主要研究曲线、曲面的局部性质，但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的。