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数论的几个著名猜想
数论的几个著名难题，被称为数学皇后皇冠上的明珠，这些难题叙述清楚，简单易懂，即使外行人也很容易理解，然而它们又都是非同一般的数学难题。要解决它们，不但要有深广的数学知识做基础，而且还需把现有的理论和方法用出新水平，并创造新理论发现新方法，因此，对这些问题的研究，推动了数学多分支的发展。
费马猜想* 大约在１６３７年，费马在阅读丢番图著《算术》一书的拉丁文译本时，读到第Ⅱ卷第八命题"将一个平方和分为两个平方数"，在书的页边空白处写了一段话，意思是说"将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分成两个四次幂，或者一般地将一个高于２次幂分成两个同次的幂，这是不可能的，关于此，我确信已发现了一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下"。用现代数学语言叙述，费马猜想是说，ｎ＞２时，方程
ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ
没有正整数解。
费马猜想又常称费马大定理，要证费马猜想是对的，只需证明
ｘ４＋ｙ４＝ｚ４
及ｐ是奇素数时ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ均无正整数解。费马说，他用无穷递降法证明了前者。１６７６年，贝西也对ｎ＝４给出了证明，欧拉对ｎ＝３，４都给出了证明，此外勒让得与狄利克雷对ｎ＝５给出了证明，１９世纪中期，库默对ｎ＜１００（除３７，５９，６７外）的奇素数给出了证明。１９０８年，德国数学家佛尔夫斯克尔遗言，将１０万马克奖给第一个证明费马大定理的人。从费马提出这一猜想至今，已过去三个半世纪，问题仍未解决。近年来主要结果有：
（１）１９７７年瓦格斯塔夫证明了，对于每一个素数ｐ＜１２５０００，费马定理都是对的。
（２）１９８３年，伐尔廷斯证明了１９２２年英国数学家莫德尔提出的猜想：如果E（ｘ，ｙ）为有理多项式，代数曲线E（ｘ，ｙ）＝０的亏格≥２，则E（ｘ，ｙ）＝０至多只有有限多个有理解。这保证，ｎ≥４时至多只有有限个ｎ使ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ有整数解。
（３）１９８５年，爱德列曼和海斯·布朗用解析数论的方法，证明了存在无穷多个素数ｐ，使不存在整数ｘ，ｙ，ｚ，满足ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ成立，{ｐ不整除ｘｙｚ}。
（４）１９９３年６月２３日英国数学家K．WILER在剑桥大学牛顿数学研究所做题为"模形式，椭圆曲线和伽罗瓦表示"的学术报告。最后宣布"我证明了费马猜想"。有关专家和权威人士的初步反映大都持肯定态度。
*形如２２ｎ＋１的正整数称费马数，记为Eｎ，其中E０＝３，E１＝５，E２＝１７，E３＝２５７，E４＝６５５３７都是素数，１６４０年费马曾猜想，一切费马数都是素数，但１７３２年欧拉指出
641l E５： E５＝６４１×６７００４１７，从而否定了费马的这个猜想。但究竟有多少费马数是素数，是有限个还是无限个？是否有无限多个费马数是合数？这些问题都是没有解决的难题。已经知道了４８个费马数不是素数，E１７究竟是素数还是合数尚不得而知。费马数与尺规定作图问题有关，高斯证明了，若Eｎ是素数，则正Eｎ边形能用尺规作出。
哥德巴赫猜想 １７４２年６月，哥德巴赫在与欧拉的通信中提出的关于素数的一个著名猜想，它包含两个问题：
问题１：是否每一个不小于６的偶数均可表为两个奇素数之和？
问题２：是否每个不小于９的奇素数均可表为三个奇素数之和？
１９世纪结束时，猜想的研究只限于具体的验证工作。现在已知，３３×１０６
以内的偶数都是对的。从而相应的奇数也有同样结论。１９３７年，苏联数学家维诺格拉朵夫创造了"三角和方法"，第一个证明了当奇数Ｎ充分大时，问题２成立，这个事实称哥德巴赫B维诺格拉朵夫定理，也简称维氏定理。问题１的研究要困难得多。２０世纪２０年代以后，特别是６０年代取得一系列进展：１９２０年，挪威布龙证明了每一个充分大的偶数都可表为两个数之和，其中每一个均不超过９个素因数之积，常记为（９，９）。１９２４年，德国雷特马赫证明了（７，７），１９３２年，英国埃斯特曼证明了（６，６），１９３８-１９４０年，原苏联布赫夕太勃证明了（５，５），（４，４），中国数学家王元先后于１９５６、１９５７、１９６２年，证明了（３，４），（３，３），（２，３），（１，４），中国另一位数学家潘承洞于１９６２、１９６３年先后证明了（１，５），（１，４），１９６５年，布赫夕太勃证明了（１，３），１９６６年，中国著名数学家陈景润得到（１，２），于１９７３年正式发表。这是目前最好的结果，被命名为陈氏定理。但距问题的解决仍有漫长之路。这里值得特别提AE?的是，中国数学家在这个著名数学难题的研究中，有着突出的贡献。早在１９３８年，著名数学家华罗庚就证明了几乎所有偶数都能表成两个奇素数之和，１９４１年，他对维氏"三角和方法"做了非常深刻的研究和改进，并对维氏定理了重要推广。华罗庚证明了每一个充分大的奇数Ｎ，皆可表为三个奇素数的ｋ次方之和：Ｎ＝ｐｋ１＋ｐｋ２＋ｐｋ３，ｋ为任意给定的正整数，维氏定理即ｋ＝１时的特例。
孪生素数猜想 若ｐ，ｐ＋２都是素数，称为一对孪生素数，记作（ｐ，ｐ＋２）。孪生素数猜想认为有无穷多对孪生素数，这是至今未解决的一个难题。已知１０５以内共有１２２４对孪生素数，１０６以内共有８１６４对，１０９以内共有３４２４５０６对。１９８９年发现了三对最大的孪生素数：
６６３７７７×２７６５０±１，５７１３０５×２７７０１±１，
１７０６５９５×２１１２３５±１，关于这个问题，目前最好的结果是中国数学家陈景润得到的：存在无穷多个素数ｐ，使ｐ＋２为不超过两个素数之积。从筛法来看，孪生素数猜想与哥德巴赫猜想是两个难度相当的姐妹问题。
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