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外国数学家（二）
【高斯】（１７７７-１８５５） 德国数学家、天文学家、物理学家。历史上伟大的数学家之一。生于不伦瑞克，卒于格廷根。他出身在贫苦的工匠家庭，祖父务农，父做短工，舅舅是个很有才能的纺织工匠，对高斯的知识启蒙有很大影响。高斯从小就显示出很高的数学才能。１７９２年在不伦瑞克公爵的资助下入卡罗琳学院学习，１７９５年又入格廷根大学，１７９９年因证明代数基本定理而获博士学位。从１８０７年直到１８５５年去世，一直担任格廷根大学教授兼格廷根天文台台长。他的数学成就遍及各个领域，在数论、代数学、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论、椭圆函数论等方面均有一系列开创性贡献。他一生发表了１５５评论文，但还有大量创作没有发表出来。他总是等到作品十分成熟时才发表，往往省略分析和思考的过程，以完美无瑕的结果出现。以致使有些学者认为，如能及早发表，其真知灼见对后辈会有更大的启发，进入新的领域也会更快。他十分注重数学的应用。在对天文学、大地测量学、电磁学的研究中，他发明和发展了最小二乘法、曲面论、位势论等。他的《算术研究》是他对数论研究的总结，这本著作奠定了近代数论的基础，是数学史上为数不多的经典著作之一。他在《曲面的一般研究》中，全面阐述了三维空间中的曲面的微分几何，提出了内蕴曲面理论，将微分几何大大推进一步，并决定了这一学科发展的基本方向。他生前关于椭圆函数理论、非欧几何等方面未发表任何公开文章，但从他的遗稿发现，他是这些领域的重要开创者之一。他还发表过关于级数研究、天体运动、磁学及力学方面的论著。
【彭赛列】（１７８８-１８６７）法国数学家、力学家。生于法国梅斯，卒于巴黎。１８０７-１８１０年就读于巴黎理工大学，是蒙日的学生，后又到梅斯炮兵工程兵学院学习并任工程教官。１８１２年随拿破仑军队远征俄国，战败被俘，囚禁在萨拉托夫伏尔加河畔的监狱里。１８１４年获释回国。在俘虏营的两年中，他回忆、思考了所学过的数学，利用取暖的木炭，在墙上作图，探索几何学问题，创立了射影几何学，他对同囚的技术人员讲解了他的新思想。回国后，１８１５年担任过梅斯兵工厂工程师，后任梅斯炮兵工程兵学院教授（１８２５-１８３８），巴黎理学院教授（１８３８-１８４８），巴黎理工大学校长（１８４８-１８５８）。１８３４年被选为巴黎科学院士，１８３５年成为"国防委员会"的成员，１８５１年被选为彼得堡科学院通讯院士。１８２２年他写成《论图形的射影性质》一书，是他在俘虏营中的研究成果的总结，这本书奠定了射影几何学的基础。他的工作对１９世纪的数学有重大影响。１８２４年，他关于水轮效率的论文获得巴黎科学院的力学奖金，对力学的研究做出了贡献。
【柯西】（１７８９-１８５７） 法国数学家、力学家。生于巴黎，卒于巴黎附近的索镇。他出身于高级官员家庭，父亲曾任法国参议院秘书长，他从小就受到良好的教育。１８０５年在巴黎理工大学学习，１８０７年入巴黎桥梁公路学院就读。１８０９年成为工程师，后在运河、桥梁、海港等工程部门工作。１８１３年回到巴黎，任教于巴黎理工大学，１８１６年由于他在数学和物理方面的杰出成就而取得教授职位，并被任命为法国科学院院士，以后又担任为巴黎大学理学院和法兰西学院的教授。１８３０年，七月革命后，他拒绝宣誓效忠新君主，因此失去了所有的职位。他出走到瑞士的弗里堡，不久被任命为都灵大学的数学物理学教授。１８３３年到布拉格，应法国流亡国君的要求，作他私人教师。１８３８年回巴黎，仍因拒绝宣誓效忠而再次失去受聘机会。１８４８年二月革命，他才又成为理工大学教授。１８５２年政变后，恢复帝制及宣誓仪式，但允许柯西可以例外。他的一生著作甚丰，至少出版过７部著作和８００多篇论文。数量之巨，仅次于欧拉。他的成就遍及数学分析、复变函数、误差理论、代数、几何、微分方程、力学、天文学等诸多领域。他的名字联系着许多概念和定理。他在数学方面最重要的贡献在三个领域：微积分学、复变函数、微分方程。他是经典分析的奠基人之一，他为微积分学所奠定的严格基础推动了整个分析学的发展。他是现代复变函数理论的创建人之一，也是他在数学领域最具特色的杰出工作。他在微分方程问题上提出的两个基本问题开创了这一领域研究的新局面。他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础。他的著作朴实无华，有思想、有创见。他所发现和创立的定理和公式，往往是一些最简单、最基本的事实。因而，他的数学成就影响广泛，意义深远。
【罗巴切夫斯基】（１７９２-１８５６） 俄国数学家。生于俄国下诺夫哥罗德（今高尔基城），卒于喀山。１８０７年入喀山大学学习，１８１１年获硕士学位并留校工作。１８１６年先后任教授助理、非常任教授，教授。还曾任物理数学系主任（１８２０-１８２１，１８２３-１９２５）、喀山大学校长（１８２７-１８４６）等职。１８４６年后，任喀山学区副督学，直至去世。他是非欧几何的创始人之一。他在试图证明欧几里得几何第五公设（即平行公设）的过程中，发现了一种逻辑上无矛盾且与"绝对几何"（即与平行公设无关的几何学）不相冲突，但又与欧几里得几何不同的新的几何体系。他称这种几何体系为"虚几何学"。从１８２６年他在喀山大学公开发表自己的新学说起，直到１８５５年（逝世前一年），他始终坚持不懈地广泛宣传自己的新的理论发现。可惜在他生前，他的学说未曾受到应有的重视，甚至受到嘲弄和打击。直到他去世后不久，高斯对他的学说予以肯定，他的思想才逐渐被普遍理解和接受。他的学说对几何学和整个数学的发展都起了巨大的作用。他在无穷级数论（特别是三角级数）、积分学、概率论等方面，也做了出色的工作。此外，他还是一位杰出的教育家和管理者。他创立了喀山数学学派和喀山数学教育学派。他曾经凭藉他卓越的组织才能和教育才能把喀山大学从混乱不堪的状态中挽救出来。
【阿贝尔】（１８０２-１８２９） 挪威数学家。生于挪威西南的芬岛，卒于弗鲁兰。他家境贫困，父为乡村牧师。１３岁入教会学校学习。１５岁时得年轻数学教师霍尔姆伯（１７９５-１８５０）细心指导，自学许多数学著作。
１８２１年，在一些教授的资助下，入克里斯蒂安尼亚大学。在学校中，他几乎全是自学，并从事研究，在数学上取得了很大成绩。他一生中得到霍尔姆伯很多帮助。包括资助他到欧洲大陆求职，在他去世后为他校订出版论文集（１８３９）等。１８２４年，他用法文写成了"一般五次方程用根式不能求解"的证明论文，但未受到数学家们的重视。１８２５年，他到德国柏林，认识了克雷尔，这是对他事业有极大帮助的第二个人。他在克雷尔创办的数学刊物上连续发表了许多文章，可惜当时均未受到重视。１８２６年，他到巴黎，交给法国科学院一篇关于椭圆积分的论文，仍未获得反响。他只好返回柏林，克雷尔为他谋求教授职位，又未成功。１８２７年，他贫病交加地回到挪威，靠作家庭教师维生。直到他去世前不久，才因他在《克雷尔杂志》上发表的出色论文开始受到欧洲大陆学术界的注意，人们才认识到他的价值。１８２８年，四名法国科学院院士上书挪威国王，请为阿贝尔提供合适的科学研究位置。次年４月６日，年仅２６岁的阿贝尔就在贫病交困中郁郁去世。柏林大学任命他为数学教授的通知，在他死后两天才到达。荣誉和褒奖在他去世后才接踵而来。１８３０年他获得法国科学院大奖。他是椭圆函数论的创始人之一。他在交换群、二项级数的严格理论、级数求和
等方面都有巨大的贡献。他是近代数学发展的先驱者。可惜他的论文的价值如同他本人一样，没有被社会和学术界及时认识和重用。
【鲍耶】（１８０２-１８６０） 匈牙利数学家。生于克劳森堡，在父亲指导下，１３岁即掌握微积分学，并应用于力学。１６岁进入维也纳皇家工程学院学习，上学期间，即潜心于平行线研究，企图证明欧几里得《原本》的第五公设。毕业后仍然继续研究，并决心创立新的几何学。虽然遭到祖父的劝阻，但终于１８２３年得到了非欧几何的基本原理。鲍耶把自己的观点，写成《空间的绝对几何学》，请求他父亲协助发表，经过４年的努力，于１８３２年才在他父亲一部初等数学书中按"附录"发表了。为了取得权威人士的评论，他父亲把"附录"寄给好友高斯，但没有引起高斯的重视，这无疑是对鲍耶的一次打击；他还致力于复数理论的研究，１８７３年，莱比锡征询对虚数理论的文章，他寄去一篇很出色的论文，并预言哈密顿的所“三维复数”表示法，这项工作又未得到应有的公允评价，因而使他感到与罗巴切夫斯基的遭遇相似时，他心灰意冷，从此再也没有发表过任何一篇数学学术论文。直到１８９４年，匈牙利数学物理学会才在他的坟墓上竖立起他的石像，并把他的"附录"列入科学经典著作，藉以纪念他对非欧几里得几何学创始的功绩，使之与世长存。
【狄利克雷】（１８０５-１８５９）德国数学家。生于迪伦，早年就读于法兰西学院和巴黎理学院，１８２６年回德国，１８２８年任柏林大学特别教授，１８３９年提升为正式教授，１８３１年被选为普鲁士科学院院士。１８５５年受雇于格廷根大学，任教授之职。在数论方面，他对高斯的《算术研究》进行了研究，并有所创新，对费马大定理，他给出当ｎ＝１４时，无整数解的证明；还探讨了二次型、多项式的因子、二次和双二次互反律等等问题；还开创了解析数论的研究。在１８６３年出版了他的遗著《数论讲义》，其中包含了他在数论方面的许多成果。在分析方面，他先后发表了《关于三角级数的收敛性》、《用正弦和余弦级数表示完全任意函数》，其中进一步发展了傅里叶级数的理论，并提出新的单值函数概念，还提出所“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。
【伽罗瓦】（１８１１-１８３２） 法国数学家。在中学时，得到老师沙里的指导，显示出非凡的数学才华，１８２９年进入巴黎高等师范学校学习，因为支持１８３０年法国七月革命而被捕入狱，出狱后，由于政治及爱情的原因，１８３２年卒于决斗，年仅２１岁。伽罗瓦在数学上引进了许多新概念，并开辟了数学的新领域--群论。他在生前，曾向巴黎科学院多次投稿，论述他的新发现，但是，不是遭到遗失，便是被认为"不可理解"。
他在决斗的前夕，给他的朋友夏瓦利叶写信，请求他把论文公诸于世。直到１８４６年，即死后１４年，伽罗瓦的论文《论方程和根式可解性条件》才发表于《纯粹与应用数学杂志》上。到１８７０年，一些法国数学家论著发表后，对伽罗瓦的理论作了评论之后，才引起广大数学家的注意，从此，伽罗瓦的工作才完全被理解，他在数学上的地位才得到公认。
【魏尔斯特拉斯】（１８１５-１８９７） 德国数学家、分析大师。在柯西、波尔查诺等人工作的基础上，重新考察数学分析中最基本的概念，把分析的基础归结为对实数理论研究，在戴德金、康托尔的共同努力下，创立了实数理论。魏尔斯特拉斯的分析算术化工作帮助人们摆脱了依赖几何直观的陋习，用不等式刻划极限过程，给出了沿用至今的极限"ε-δ"定义，他还找到处处不可微的连续函数的例子。这一"病态函数"的发现刺激了对函数的研究，进而产生了实变函数论。他在中学执教了１５年，业余钻研数学，年近４０才成为职业数学家，他研究数学并运用于教学，许多成果发现于自编讲义或听众笔记中，出版的著作不多，但非常重要。他桃李满天下，莱夫勒出版门下，而第一位女教授：索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅（１８５０-１８９１）也是他力排陋俗亲自辅导成才的。被人们誉为"现代分析之父"，其光辉业绩使他于１８６８年被选为法国科学院和柏林科学院的院士，成为１９世纪最有影响的分析学家。
【黎曼】（１８２６-１８６６）１９世纪德国数学家。１９岁在哥廷根大学攻读哲学和神学时转攻数学，后来他师从狄利克雷、雅可比、高斯，获博士学位。３３岁时被聘为教授。此时已病魔缠身，３９岁便死于肺结核。他短暂一生发表的作品较少，但高质量的工作却揭开了１９世纪数学新时期的序幕，对当时最重要的分析、几何与数论领域都做出了划时代贡献，并产生了深远影响。其博士论文《单复变函数的一般理论的基础》是关于复变函数一般理论的名著，确定了复变函数的几何理论基础，蕴含了拓朴学的本质，是近代数学史上重要贡献之一。黎曼在数学分析方面，讨论了连续与可微可积的关系，提出黎曼积分，及其存在的充分必要条件，研究级数收敛与发散性，对整个数学产生了深远影响。在几何基础方面，黎曼对欧氏几何和非欧几何作了纵贯古今的概括，从而统一了非欧几何兴起后的各种几何理论，开辟了微分几何发展的新途径，黎曼几何还为爱因斯坦的广义相对论提供了最合适的数学工具。黎曼在数论、函数论、微分几何、代数几何等方面都有贡献，并写过物理学方面的论文。
【戴德金】（１８３１-１９１６）德国数学家。早年进行代数学、数论的研究，亦曾论及无限思想。这一思想被康托尔所发展，构成了势和序数理论的基础。戴德金是１９世纪进行数学分析基础严密化工作的数学家，他提出"分划"理论定义了有理数、无理数，进而得到实数，建立起完整的实数理论，标志着数学分析基础的完成。他的代表作是《连续性和无理数》、《数的性质和意义》。他针对当时对有理数的模糊认识，用崭新的方法定义无理数。他发现了直线连续性的本质表现。戴德金应用"分划"定义了有理数和无理数，并将二者合称为实数，实数的连续性由此得证，数学史上把１８７２年--戴德金发表《连续性与无理数》一书的时间，称为数学分析基础完成的一年。建立了实数概念用其连续性后，戴德金又用分划方法定义实数的算术运算，建立起实数的加法和乘法结合律和交换律等。最后发现：凡有理数的所有运算和各种性质，实数全都满足。戴德金还在《数的性质与意义》中用集合论思想给出了整数理论。
【康托尔】（１８４５-１９１８） 德国数学家，因集合论被誉为对２０世纪数学发展影响最远的学者之一。康托尔师从于魏尔斯特拉斯，以数论的工作获得博士学位。他在研究函数表达为三角级数唯一性的判别中提出集合理论，他用有理数的基本序列来定义实数，与戴德金，魏尔斯特拉斯各自从不同角度出发独立地建立了实数理论，他们的工作既把经典分析置于严密的理论基础上，也为近代分析（点集拓朴和泛函分析）的产生和发展开辟了道路。康托尔首先提出�"无穷集合"新概念，第一次把集合作为数学对象，定义集合的交与并，引入"一一对应"原则来衡量两个集合等价和具有相同的基数。认为如果一个集合能跟它的一部分构成一一对应，则该集合是无穷的，从而证明了无穷之间的差别。他的一系列论文创立了以研究集合论的一般性质为对象的数学分支--集合论，成为集合论的奠基人。集合论思想得到了一些数学家的支持与捍卫，也受到另一些数学家的非难与围攻。康托尔历经２０年艰辛，终于获得了世界公认。人们把１８７３年１２月７日称为集合论的诞生日，集合论促进了许多新的数学科目的产生和发展，在科学界享有崇高的声誉。
【克莱茵】（１８４９-１９２５）德国数学家。师从普吕克，研究各种几何学和变换群的关系，他以统一的观点用变换群对几何学作了分类，即几何学是图形相对于某种变换群的不变性质的研究，被称为"爱尔朗根纲要"（１８７２），从而把各种几何作了完美的统一。克莱茵总结古希腊几何三大问题，于１８９５年给出了简单而明晰的证法，从而彻底了结了两千多年的历史悬案。克莱茵数学兴趣极为广泛，对几何、数论、群论、不变量理论、代数、函数论、方程论等方面均有独到的见解。克莱茵另一贡献就是使哥廷根大学成为数学界的朝圣地，他采取一系列措施，网罗和吸引了世界上第一流的数学家，也培养了一大批数学天才人物，２０世纪初格廷根所体现出的那种数学研究的风格是一种为所有数学研究部门一直追求的理想，数学研究的真实基础在于理论与实际的恰当联盟之中。克莱茵还是数学教育改革的积极倡导者和热情实施者，他的数学教学的要求受到社会学术界和国家的重视，对现在的数学教育仍有一定的借鉴作用。
【庞加莱】（１８６０-１９３４）法国数学家。他的创新精神和卓越技巧，使他涉猎了纯数学与应用数学的许多领域并做出了重大贡献。他的工作涉及到数学、物理、电学、光学、弹性学、位势理论、动力学、流体力学、相对论和天体力学等。在分析学方面他创立了自守函数的理论。自守函数是周期函数的推广，是在克莱茵群变换下不变的函数，庞加莱应用自守函数代数系统的线性微分方程；建立双曲几何相容性的模型，使自守函数发展成为数学中一个内涵丰富的分支。庞加莱另一贡献是创立了微分方程的定性理论。为研究描述行星运动及行星和卫星轨道稳定性的微分方程有无周期解而开辟了一条崭新的途径；他研究了微分方程的周期性和渐近解，对积分曲线的破点进行分类等。庞加莱讨论发散级数的本质定义，研究有用的发散级数--称为渐近级数，他把渐近级数理论应用到解微分方程和解天体力学问题中去，并获得了成功。庞加莱是最早系统探讨几何图形组合理论的人，因而被公认为组合拓朴的奠基者。他提出了代数拓朴的基本概念--同调，在拓朴领域还留下了一些重要的猜想。庞加莱在天体力学、数学物理方面都有许多重要贡献，他还为数学的传播和普及作过不懈的努力。
【希尔伯特】（１８６２-１９４３） 德国数学家，在代数数域、积分方程、变分法等领域中都取得了辉煌的成果。１８９９年，他的《几何基础》一书用近代观点建立了欧几里得几何公理化体系，开创了数学公理化的研究方法，并很快推广到数学领域的许多分支，公理化的处理方法被认为是开创了数学研究的新时代。希尔伯特为格廷根学派达到鼎盛时期建立了不朽的功勋。１９００年巴黎国际数学家大会上，希尔伯特应邀作大会发言，他在国际数学家面前作了题为"数学问题"的著名演讲，把"问题"看成数学发展的动力，列出了在新世纪里应去努力解决的２３个问题，为人们树立了把握全局，抓往关键，推出研究数学主方向问题的范例，他的报告向数学工作者展示了新世纪的前景，为数学史留下了一份珍贵的文献，对２０世纪数学发展产生了深刻的影响。希尔伯特是卓越的研究者，也是一位优秀的教师，他具有优良的领导才能，继克莱茵之后把哥廷根数学研究推向全盛。希尔伯特对物理学保持浓厚的兴趣，希望对物理学进行整理，以达到完善、统一的形式和概括、精炼的陈述目的。他坚信物理问题是数学研究的重要实际背景，认为这两门学科的结合是许多成果产生的源泉。他的工作推动了不同领域学科间的学术交流，也促进了数学的发展。
【阿达玛】（１８６５-１９６３）法国数学家。他在《关于波的传播的讲义》（１９０３）中，把特征理论推广到任意阶偏微分方程。并赞同集合论新理论的作用。１８９７年第一次国际数学家大会上指出超限数理论在分析中的重要作用，使得在测度论与拓朴学方面开展了进一步的应用。由于变分法的原因，阿达玛开创了泛函的研究，并做出了成绩。阿达玛对数学基础寄予浓厚的兴趣。对当时数学的逻辑状态提出过批评，赞同康托尔超越数存在的证明，保证所有实数组成集合的存在。阿达玛在行列式方面也有研究成果。他在数论方面应用整函数理论证明了素数定理，研究整函数的目的就在于证明这个素数定理，素数定理是解析数论的中心问题之一。阿达玛是法国１９世纪函数论王国的代表人物，从一个侧面刺激了布尔巴基学派的形成与发展。
【嘉当，E】（１８６９-１９５１）法国数学家。生于法国伊泽尔。１８９１年毕业于巴黎高等师范学校，１８９４年以《关于有限维连续变换群的构造》获得博士学位。先后任蒙彼利埃大学、里昂大学、南锡大学、巴黎大学教授等职。嘉当在李群、微分形式、积分不变式、联络几何等许多数学领域内做出了很重要的贡献，例如１８９４年他奠定了李群代数的理论基础，１８９６年研究了线性组合代数，１８９８年对单李代数进行了完全的分类，２０世纪初期，研究了无限维李群，还研究了群的拓朴性质，并提出一般联络的微分几何概念，他的联络思想对微分几何的发展产生了深远的影响。由于他在许多领域中有卓越的贡献，于１９３１年当选为法国科学院院士，１９４７年成为伦敦学会的会员，还获得罗巴切夫斯基国际奖，也得到法国科学院多次奖励。
【罗素】（１８７２-１９７０）英格兰人，２０世纪影响最大的哲学家之一。著述丰富，涉及数学、物理学、教育、社会等领域。早年学欧几里得几何时，对公理，对数学前提表示怀疑，从而决定了他研究的兴趣--数学基础。他首先完成了《论几何基础》的论文，（１８９５）以康德哲学精神处理非欧几何，认为这些几何中某些公理是先验的。开始认定数学是逻辑的高度发展形式。１９００年接触到皮亚诺符号逻辑体系后，发现这是他寻求多年可以进行逻辑分析的工具，准备把这一工具推广到关系逻辑上。他与数学家兼哲学家怀特海（１８６１-１９４７）一起探讨数学基础问题，合作撰写《数学原理》三大卷。这是２０世纪初数理逻辑最主要的成就。罗素在本世纪初发现的集合论悖论"罗素悖论"曾予数学界以极大冲击，开始了数学发展史上的第三次危机，促使数学家们重新审视数学的基石--集合理论，这一悖论直到他发�"类型论"才解决。《数学原理》试图把整个数学归结为逻辑，以逻辑的"原始概念"与"原始命题"为出发点，从命题演算开始，通过类和关系的理论，建立自然数系，从而构成全部数学的基础。罗素代表了本世纪初数学基础大讨论中的逻辑主义学派，通过"类型论"排除集合论悖论，刺激了数理逻辑学科的发展，把符号逻辑和古典数学紧密结合起来，也开辟了２０世纪以来数学基础和数理逻辑的独特的研究道路。
【勒贝格】（１８７５-１９４１） 法国数学家，致力于研究各种病态函数，导致了积分学的革命，也创立了实变函数学科。勒贝格潜心研究三角级数以及测度和积分，１９０２年发表《积分、长度和面积》一文，系统地阐述其测度和积分的思想，他的成名著作是：《论三角级数》（１９０３），《关于积分法和原函数研究的讲义》（１９０４）。勒贝格在波莱尔（１８７１-１９５６）开闭区间测度思想的影响下，更一般化地引出勒贝格可列可加测度，然后定义一种积分把（ｘ）定义的区间［ａ、ｂ］分为若干个勒贝格可测集，作积分和。经典积分下的积分和如果不收敛，用分可测集的方法就可能收敛。于是按黎曼积分不可积的函数，按勒贝格意义却变得可积了，这是积分学上的一个巨大的突破。勒贝格积分用到三角级数研究上，容易得到许多重要定理，也改进了那时函数可展为三角级数的充分条件。推广了导数概念后，微积分中的牛顿B莱布尼茨公式也有了相应的新结论。实变函数论由此诞生。勒贝格顶住了一些人对他处理病态函数的反对，努力宣传他的思想。到本世纪３０年代，勒贝格测度论、积分论已成熟，并在概率论，谱理论，泛函分析等方面获得了广泛的应用。
【布劳威尔】（１８８１-１９６６）拓朴学著名学者，荷兰人，２０世纪初数学基础大论战中直觉主义学派继克罗内克、庞加莱之后的代表人物。布劳威尔把数学思维理解为一种创造性程序，数学必须受到数学直觉的限制，即在直观地给定的自然数列上，仅用有限次构造性的方法建立数学。他主张：不承认排中律，不准用反证法证明命题为真。一个命题的存在性被证明，必须被证明可以用有限的步骤构造出来，只证明该条款的不存在导致矛盾是不充分的。排中律只可用于有限集合而不能用于无限集合。是由于逻辑定理滥用于数学的无穷集合导致矛盾、悖论的，而构造法建立的数学可避免悖论的出现。尽管按布劳威尔等人的观点，古典数学中很大一部分内容不能构造，不能称为"数学"，但直觉主义观点受到了许多数学家的重视，对数学基础研究起到了很大的推动作用。布劳威尔本人是通过函数论问题对拓朴学感到兴趣，他在拓朴学中提出了连续变换的单纯逼近法，不动点定理，扩展ｄｏｒｄａｎ曲线定理等，从而取得在拓朴学方面的卓越成就。
【诺特】（１８８２-１９３５） 德国籍犹太女数学家，在哥廷根大学受业于克莱茵、希尔伯特、闵可夫斯基等人，获爱尔朗根大学数学博士学位，是当时世界上屈指可数的女数学博士，他开始研究几何图形在满秩线性变换下的不变性，进而在微分不等式方面得到重要结果，被希尔伯特邀请到哥廷根工作。诺特对代数学的环和理想子环的抽象理论作了极为深刻的研究，写成《环和理想论》，成为抽象代数现代理论的开创者之一。她关于环的理论在代数几何中有各种应用，她与其学生，代数学家范德瓦尔登一道，按公理体系奠定了近世代数的现代基础，开拓了数学的新世界，从根本上改变了代数学的面貌，也深深地影响了布尔巴基学派的结构思想。在希特勒驱赶犹太人的淫威之后，诺特被迫离开哥廷根，受聘于布林马尔学院和布林斯顿高等研究所，两年后死于外科手术。爱因斯坦称她为："自妇女受高等教育以来最重要的富于创造性的数学天才"，韦尔说："她是一位伟大的数学家……也是历史曾经产生过的最伟大的女性之一"。诺特在代数学领域中的贡献，使她无愧于"抽象代数之母"。
【巴拿赫】（１８９２-１９４５） 波兰数学家，泛函分析奠基者。其《抽象集合上算子及AE?在积分方程上的应用》（１９２２）是本世纪重要论文之一。１９３２年他的名著《线性算子理论》标志着泛函分析的成熟。巴拿赫建立起具有不用内积定义的范数空间，给出空间三组公理，这样得到的Banach空间比Hilbert空间更为一般。他能对其空间证明许多人们熟悉的事实，然后定义算子，讨论关于积分方程抽象形式的解的定理。后来引入B空间的伴随空间，伴随算子等。泛函分析后来广泛运用于量子力学等领域。巴拿赫是波兰数学学派的中坚人物，他和史坦因豪斯（１８８７-１９７２）一起在里沃夫领导了泛函分析研究中心，与华沙的点集拓朴、集论、数学基础、数理逻辑研究互相呼应。里沃夫泛函分析研究中心的工作是波兰数学的骄傲，也是波兰数学学派最后一个黄金时期。二次大战时，巴拿赫在一个预防伤害病的研究所里喂养虱子，战后不久即死于肺癌。
【柯尔莫哥洛夫】（１９０３- ）苏联数学家、概率论公理化的创始人。先在函数论方面作了大量研究，如三角数论、测度论、集论、积分论，后在概率论方面成功地证明了大数定律的必要和充分条件，他推广了切比雪夫不等式，提出了柯尔莫哥洛夫不等式，创立了具有可数集状态的马尔可夫链理论。他最著名的工作是在概率论公理化方面，他的工作标志着概率论发展进入了一个新的阶段，为随机过程的研究提供了必要的基础，被载入数学发展的史册。他建立起来的第一流的概率学派为苏联数学赢得了光辉的荣誉。柯尔莫哥洛夫还把概率论和数理统计用到实践中去，统计检验产品质量，创立统计流体力学以解决湍流力学问题，他的研究体现了学科交叉渗透的特点，与近代科学技术发展相适应。
【冯·诺伊曼】（１９０３-１９５７）美国数学家。生于匈牙利。早年以集合论和数学基础的工作著称，二次大战中参与同反法西斯战争有关的各项科学计划，担任过制造原子弹的顾问。他的科学足迹遍及纯粹数学、应用数学、力学、经济学、气象学、理论物理学、计算机科学及脑科学、他的成就相当于３０年科学发展史的概要。他集中研究纯粹数学，涉及到集合论公理系统、元数学、冯·诺伊曼代数算子环等，解决了希尔伯特第五问题，对量子力学加以公理化。
１９４０年他由纯粹数学家转为应用数学家，并应召参与许多重要军事科学计划和工程项目，帮助设计了原子弹的最佳结构，研究空气动力学，转向航空技术。二战后期，他开始计算机研究，在电子计算机逻辑体制中引入代码，编制各种程序，把崭新的科学思想付诸实践，是第一台电子计算机PWFKG诞生的催产师。现代计算机许多基本设计中都带有他的思想标记。冯·诺伊曼还创立了对策论，抛弃传统的经典力学方法处理经济问题，而代之以新颖的策略思想和组合工具。晚年则致力于自动机理论，意识到计算机和人脑机制的某种类似，为人工智能研究打下了基础。
【 嘉 当 ，H】 （ １ ９ ０ ４ - ） 当 代 法 国 数 学 家 。
法 国 数 学 家 E．嘉当之子。生于法国的南锡，１９２６年毕业于高等师范学校，１９２８年获得博士学位，１９３６年任斯特拉思堡大学教授，１９４０年任巴黎大学教授，并成为法国布尔巴基学派代表人物之一。研究工作涉及数学的很多分支，例如多复变函数论、自守函数论、拓朴学、同调代数、李群、代数几何、数理逻辑学等。他的著作有《同调代数》（１９５６）、《微分学、微分形式》（１９６７）等，１９８０年荣获沃尔夫奖。１９８５年曾应邀到上海来参加中国数学会成立５０周年年会，并作了题为《皮尔－费马方程》的学术报告。
【哥德尔】（１９０６-１９７８） 奥地利逻辑学家。早年攻读哲学，后转攻物理和数学。由于偏爱精密性和严格性，对他后来的发展有重大意义。集合论悖论出现后的数学界试图对集合论的使用加以限制；罗素提出类型论区分集合，策梅罗和弗兰克尔提出ZF选择公理系统，对集合论公理化，试图在不损害数的前提下解决危机。就在希尔伯特自信数学中没有不可知时，哥德尔提出了他的第一、第二不完全定理，并郑重宣告：数学家们企图在某种限制之后，期望一个广阔又严格基础之上放心研究的想法是不可能实现的。他的论文引起了数学家们的极大兴趣，说是把整个数学形式化的主张是注定要失败的，数学中一定有不可知，不可证，数学真理大河中有绝对的不可知，而不是受认识能力，知识限制的不可知。逻辑主义和形式主义的原则不能贯彻到底，从此，数学家只使用集合论的一些最简单的结果，而把更深入的数理逻辑和数学基础问题留给了专门的数理逻辑学家。
【图灵】（１９１２-１９５４） 英国数学家。早年兴趣集中在"可计算数"上，他的理论奠定了计算机科学理论的基础。二次大战时，图灵奉召到英国外交部通讯部所属的密码学校从事破译工作，他领导的数学家，语言学家和计算人员共同研制了一种快速计算机，能高速分析密码--各种可能的组合。图灵的理想计算机的思想导致了世界上第一台数字式专用"巨人"电子计算机的研制成功，也为二次大战的最后胜利建立了不朽功勋。大战结束后，图灵致力于研制大型电子计算机，写出了计算机总体设计方案，包含了仿真系统、子程序和子程序库、错误自检系统、机器自动编译程序等。图灵在机器智能方面做出了许多开创性的工作。并论述了智能机器的可能性，以他特有的理论彻底性对包括智能计算机在内的所有机器作了严密的分类，把数学计算机分�"有组织的"和"无组织的"，两大类。图灵一生的工作覆盖了几个重要领域：数理逻辑、群论、破译码机、计算机、机器智能，并做出了巨大的贡献，他还对与生命起源有密切关系的"形态发生"的化学理论进行了可贵的探索。他的独创性和预见性愈来愈受到人们的敬佩。
【康托罗维破】（１９１２- ）俄罗斯数学家。生于彼得堡，１９３０年毕业于列宁格勒大学，１９３４年任教授，１９３５年获得博士学位。１９６４年被选为苏联科学院院士。其数学上的主要贡献有：（１）他是最优化数学方法的创始人之一。１９３９年，他提出最优化生产计划理论的论点，并发表《生产组织与计划中的数学方法》一书，具有划时代的意义，为创立线性规划奠定了理论基础。从而形成新兴的经济数学这门交瞐e学科。（２）他是计算数学创始人之一。１９３６年发表了《高等分析近似方法》，是计算数学奠基著作之一。（３）在泛函分析方面，他研究了一类半有序空间，先后发表了《半序空间中的泛函分析》、《赋范空间的泛函分析》，并把泛函分析的理论应用到计算数学中，从而建立了解算子方程的方法。在程序设计、函数论、数学物理、微分方程、积分方程、变分法等许多方面都有所贡献；并于１９４９年获得苏联国家奖，１９５９年获得列宁奖，１９７５年获得诺贝尔奖。
【埃尔朗】丹麦工程师。其生平事迹不详。研究服务系统中的排队现象的随机规律，称之为排队论。虽然１９０７年第一篇有排队论的论文《电话呼叫数与等待时间》是约翰森所写，但第一篇从数学角度出发、严格论述排队问题的论文，埃尔朗于１９０９年所写，他不但把打电话的排队现象作数学处理，他还以"等待时间"为描述服务系统中的指标，并提出"排队论"的名称。到２０世纪６０年代，排队论得到很大的发展，排队论不但成为最优化、控制论的基础，也成为计算机设计的理论基础。
【鲁宾逊】（１９１８-１９７４）美国数学家。生于德国，早年求学于耶路撒冷、巴黎等地，后在耶路撒冷、伦敦、多伦多等地工作。１９６２年移居美国，并加入美国国籍。主要从事于数理逻辑、代数学等方面的研究，他的最大的研究成果，是运用数理逻辑的概念与方法，将无穷大、无穷小引进微积分，建立在严格的理论基础之上，从而创立了所谓"非标准分析"，著有《非标准分析》、《模型论和元数学导引》，他的著作对数学产生了一定的影响，虽然非标准分析已应用到一些学科之中，但在数学界，则对其评价不一。
（摘自《家庭藏书集锦》百科类）
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